統計學/導論/需要了解的知識

統計學是一個多元化的學科，因此所需數學知識取決於我們所研究的統計學型別。大多數多元統計學需要紮實的線性代數基礎，但對於入門統計學來說則不是必需的。無論研究哪個統計學分支，微積分基礎知識都是很有用的。

最低限度，學生應該掌握代數中教授的基本概念，並且對“移動事物”和求解未知數感到舒適。這裡大多數統計學都源於一些基本的事物，讀者應該熟悉這些事物。

絕對值

$|x|\equiv {\begin{cases}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{cases}}$

如果數字是零或正數，則該數字的絕對值就是該數字本身。如果數字是負數，則去掉負號即可得到絕對值。

例子

• |42| = 42
• |-5| = 5
• |2.21| = 2.21

階乘

階乘是在機率中經常使用的一種計算。它只針對大於或等於零的整數定義，如下所示：

$n!\equiv {\begin{cases}n\cdot (n-1)!,&n\geq 1\\1,&n=0\end{cases}}$

例子

簡而言之，這意味著：

0! =	1	= 1
1! =	1 · 1	= 1
2! =	2 · 1	= 2
3! =	3 · 2 · 1	= 6
4! =	4 · 3 · 2 · 1	= 24
5! =	5 · 4 · 3 · 2 · 1	= 120
6! =	6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	= 720

求和

求和（也稱為級數）在統計學中應用非常廣泛，幾乎比任何其他技術都多。它是一種表示對大量值的加法的方法，無需在每個加號後面加上加號。我們使用大寫西格瑪符號 ∑ 來表示求和。

例子

在統計學中，我們經常對一組相關的變數進行求和。

$\sum _{i=0}^{n}x_{i}=x_{0}+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}$

這裡，我們正在對所有 x 變數進行求和（希望在計算時，所有 x 變數都具有值）。∑ 下面的表示式（本例中為 i=0）代表索引變數及其起始值（i 的起始值為 0），而 ∑ 上面的數字代表變數將遞增到的值（步長為 1，因此 i = 0, 1, 2, 3, 然後 4）。另一個例子：

$\sum _{i=1}^{4}2i=2(1)+2(2)+2(3)+2(4)=2+4+6+8=20$

請注意，我們可以透過將 2 移到求和符號之外來獲得相同的值（先執行求和，然後再乘以 2，而不是將求和的每個組成部分都乘以 2）。

無窮級數

當然，級數並不一定要以任何確定的值或有限值進行計數——它可以無限地繼續下去。這些級數被稱為“無窮級數”，有時它們甚至可以收斂到一個有限值，當級數中的項數接近無窮大 (∞) 時，最終會等於該值。

例子

$\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}={\frac {1}{1-r}},$

$\left|r\right|<1$

這個例子是著名的幾何級數。請注意，該級數趨於 ∞（無窮大，這意味著它不會停止），並且它只對變數 r 的某些值有效。這意味著如果 r 在 -1 和 1 之間 (-1 < r < 1)，那麼當級數擴充套件得越遠時，求和將越來越接近（即收斂到）¹ / _1-r。

線性逼近

學生 t 分佈在不同自由度下，對應不同臨界值。

v / α	0.20	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005
40	0.85070	1.30308	1.68385	2.02108	2.42326	2.70446
50	0.84887	1.29871	1.67591	2.00856	2.40327	2.67779
60	0.84765	1.29582	1.67065	2.00030	2.39012	2.66028
70	0.84679	1.29376	1.66691	1.99444	2.38081	2.64790
80	0.84614	1.29222	1.66412	1.99006	2.37387	2.63869
90	0.84563	1.29103	1.66196	1.98667	2.36850	2.63157
100	0.84523	1.29007	1.66023	1.98397	2.36422	2.62589

假設您正在檢視一個值表，例如上面的值表。您想要近似（獲得對 63 處值的良好估計），但您的表中沒有這些值。這裡一個好的解決方案是使用線性逼近來獲得一個可能接近您真正想要的值，而無需經歷計算表中額外步驟的所有麻煩。

$f\left(x_{i}\right)\approx {\frac {f\left(x_{\lceil i\rceil }\right)-f\left(x_{\lfloor i\rfloor }\right)}{x_{\lceil i\rceil }-x_{\lfloor i\rfloor }}}\cdot \left(x_{i}-x_{\lfloor i\rfloor }\right)+f\left(x_{\lfloor i\rfloor }\right)$

這僅僅是將直線方程應用於資料表。x_i 表示您想要了解的資料點，$x_{\lfloor i\rfloor }$ 是您想要了解的點下方已知資料點，而 $x_{\lceil i\rceil }$ 是您想要了解的點上方已知資料點。

例子

使用上面的表格，找到 0.05 列中 63 處的值。

首先，我們在上面的表中確認我們需要對該值進行近似。如果我們準確地知道它，那麼實際上就沒有必要對它進行近似。就目前而言，它將位於表中 60 和 70 之間的位置。其他一切都可以從表中獲得。

 

$f(63)\approx {\frac {f(70)-f(60)}{70-60}}\cdot (63-60)+f(60)={\frac {1.66691-1.67065}{10}}\cdot 3+1.67065=1.669528$

 

使用軟體，我們計算出 *f*(63) 的實際值為 1.669402，與之相差約 0.00013。對於我們的目的來說，這已經足夠接近了。