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調和平均數

當我們想要對速度等數量進行平均時，不能使用算術平均數。

請看以下示例

示例 1： 我家到鎮上的距離是 40 公里。我以每小時 40 公里的速度開車到鎮上，然後以每小時 80 公里的速度返回家中。我這次旅行的平均速度是多少？

解決方案： 如果我們只取我行駛的兩個速度的算術平均數，我們會得到每小時 60 公里。然而，這不是正確的平均速度：它忽略了我在 40 公里/小時的速度下行駛的時間是 80 公里/小時速度下行駛時間的兩倍。為了找到正確的平均速度，我們必須計算調和平均數。

對於兩個數量 A 和 B，調和平均數由下式給出：${\frac {2}{{\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}}}$

這可以透過在分母中加和並乘以倒數來簡化：${\frac {2}{{\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}}}={\frac {2}{\frac {B+A}{AB}}}={\frac {2AB}{A+B}}$

對於 N 個數量：A、B、C......

調和平均數 = ${\frac {N}{{\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{C}}+\ldots }}$

讓我們嘗試將上面的公式應用於我們的示例

調和平均數 = ${\frac {2AB}{A+B}}$

我們的值是 A = 40，B = 80。因此，調和平均數 $={\frac {2\times 40\times 80}{40+80}}={\frac {6400}{120}}\approx 53.333$

這個結果正確嗎？我們可以驗證一下。在上例中，兩個城鎮之間的距離為 40 公里。因此，以 40 公里的速度從 A 到 B 的行程需要 1 小時。以 80 公里的速度從 B 到 A 的行程需要 0.5 小時。往返距離（80 公里）的總時間將為 1.5 小時。那麼平均速度將為 ${\frac {80}{1.5}}\approx$ 53.33 公里/小時。

調和平均數在物理上也有意義。